📘 개념 이해: “시간 차를 두고 출발하는 경우”란?
“시간 차를 두고 출발하는 경우”의 거리, 속력, 시간 문제는 두 명 이상의 사람이 서로 다른 시간에 같은 지점에서 출발하여 이동하거나, 또는 다른 지점에서 출발하여 만나는 상황을 다룹니다. 예를 들어, “형이 출발한 지 10분 후에 동생이 같은 방향으로 출발하여 형을 따라잡았다” 또는 “A와 B가 양쪽에서 동시에 출발하여 마주보고 오다가 만났다 (이 경우는 동시 출발이지만, 만나는 지점까지 이동 거리가 핵심)” 등이 이 유형에 포함될 수 있습니다. 특히 이미지에서 제시된 상황은 한 사람이 먼저 출발하고 다른 사람이 나중에 출발하여 두 사람이 만나는 경우에 초점을 맞추고 있습니다.
이 유형의 핵심은 두 사람이 만나는 지점까지 이동한 거리가 서로 같다는 점을 이용하거나, 두 사람이 실제로 이동한 시간 사이의 관계를 파악하여 방정식을 세우는 것입니다.
| 구하는 것 | 공식 |
|---|---|
| 거리 | \(\text{속력} \times \text{시간}\) |
| 속력 | \(\frac{\text{거리}}{\text{시간}}\) |
| 시간 | \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) |
💡 A가 출발한 후 B가 출발하여 만나는 경우의 방정식
한 사람(A)이 먼저 출발하고, 일정 시간 후에 다른 사람(B)이 같은 방향으로 출발하여 A를 따라잡아 만나는 경우, 다음과 같은 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다.
방정식 세우기의 핵심 원리두 사람이 만났다는 것은 두 사람이 출발점으로부터 이동한 거리가 같다는 의미입니다.
$$ (\text{A가 간 거리}) = (\text{B가 간 거리}) $$
제공해주신 이미지의 핵심 내용이 바로 이 원리입니다.
여기서 각 사람이 간 거리는 기본 공식 \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\)을 사용하여 표현합니다. 이때, 두 사람의 실제 이동 시간을 정확히 설정하는 것이 매우 중요합니다.
- 만약 B가 A보다 \(t_0\)만큼 늦게 출발했고, B가 출발한 후 \(x\)시간 만에 만났다면:
- B가 실제로 이동한 시간: \(x\) 시간
- A가 실제로 이동한 시간: \(x + t_0\) 시간 (B보다 \(t_0\)만큼 더 이동했으므로)
- 또는, A가 출발한 후 총 \(y\)시간 만에 만났고, B가 A보다 \(t_0\)만큼 늦게 출발했다면:
- A가 실제로 이동한 시간: \(y\) 시간
- B가 실제로 이동한 시간: \(y – t_0\) 시간 (A보다 \(t_0\)만큼 덜 이동했으므로)
어떤 것을 미지수로 놓느냐에 따라 시간 표현이 달라지므로 주의해야 합니다.
💡 문제 풀이 단계 (시간 차를 두고 출발하여 만나는 경우)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 각 사람의 속력을 파악합니다.
- 누가 먼저 출발했고, 얼마만큼의 시간 차를 두고 다른 사람이 출발했는지 확인합니다.
- 두 사람이 만나는 상황임을 인지합니다.
- 미지수 설정:
- 일반적으로 나중에 출발한 사람(B)이 이동한 시간을 \(x\)로 놓거나, 또는 먼저 출발한 사람(A)이 이동한 총 시간을 \(x\)로 놓습니다. 무엇을 \(x\)로 놓느냐에 따라 다른 사람의 이동 시간 표현이 달라집니다.
- 때로는 만날 때까지의 거리를 \(x\)로 놓을 수도 있습니다.
- 각 사람의 이동 거리 표현:
- 각 사람에 대해 \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\) 공식을 사용하여, \(x\)에 대한 식으로 이동 거리를 나타냅니다.
- 이때, 각 사람의 실제 이동 시간을 정확히 \(x\)와 시간 차를 이용하여 표현해야 합니다.
- 단위 통일은 필수입니다 (속력의 시간 단위와 이동 시간의 단위 일치).
- 방정식 세우기:
- 핵심 원리인 \((\text{A가 간 거리}) = (\text{B가 간 거리})\)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 시간 또는 거리로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 만나는 데 걸린 시간, 만나는 지점까지의 거리 등)
- 구한 값을 이용하여 각 사람의 이동 거리와 시간을 실제로 계산해보고, 두 사람의 이동 거리가 같은지, 시간 관계가 맞는지 등을 검산합니다.
✅ 예제 1: 형이 먼저 출발하고 동생이 따라가는 경우
문제: 형이 분속 60m로 집을 나선 지 10분 후에 동생이 분속 80m로 형을 따라나섰다. 동생이 출발한 지 몇 분 후에 형과 만나게 되는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 동생이 출발한 지 \(x\)분 후에 형과 만난다고 합니다.
- 각자의 이동 시간 및 거리 표현:
- 동생:
- 이동 시간: \(x\)분
- 속력: 분속 80m
- 이동 거리: \(80x\) m
- 형:
- 동생보다 10분 먼저 출발했고, 동생이 \(x\)분 이동했으므로, 형의 총 이동 시간: \((x + 10)\)분
- 속력: 분속 60m
- 이동 거리: \(60(x + 10)\) m
- 동생:
- 방정식 세우기: (형이 간 거리) = (동생이 간 거리)
$$ 60(x + 10) = 80x $$
- 방정식 풀기:
$$ 60x + 600 = 80x $$
$$ 600 = 80x – 60x $$
$$ 600 = 20x $$
$$ x = \frac{600}{20} = 30 $$
- 답 구하기 및 확인:동생이 출발한 지 \(x=30\)분 후에 형과 만납니다.확인:
- 동생이 간 거리: \(80 \times 30 = 2400\)m
- 형이 이동한 총 시간: \(30 + 10 = 40\)분
- 형이 간 거리: \(60 \times 40 = 2400\)m
- 두 사람의 이동 거리가 2400m로 같습니다. (일치)
답: 동생이 출발한 지 30분 후이다.
✅ 예제 2: 마주보고 출발하여 만나는 경우 (시간 차 없음 – 참고)
문제: A와 B 두 지점 사이의 거리는 18km이다. 갑은 A에서 시속 5km로, 을은 B에서 시속 4km로 동시에 마주보고 출발했다. 두 사람이 만나는 것은 출발한 지 몇 시간 후인가?
이 문제는 시간 차를 두고 출발하는 경우는 아니지만, “만난다”는 조건에서 이동 거리의 합을 이용하는 대표적인 유형입니다. 위에서 설명한 (A가 간 거리) = (B가 간 거리)와는 다른 접근 방식입니다.
풀이 과정:
- 미지수 설정: 두 사람이 출발한 지 \(x\)시간 후에 만난다고 합니다.
- 각자의 이동 거리 표현:
- 갑이 이동한 거리: (갑의 속력) \(\times\) (갑의 이동 시간) = \(5x\) km
- 을이 이동한 거리: (을의 속력) \(\times\) (을의 이동 시간) = \(4x\) km
- 방정식 세우기: (갑이 간 거리) + (을이 간 거리) = (두 지점 사이의 전체 거리)
$$ 5x + 4x = 18 $$
- 방정식 풀기:
$$ 9x = 18 $$
$$ x = \frac{18}{9} = 2 $$
- 답 구하기 및 확인:두 사람은 출발한 지 \(x=2\)시간 후에 만납니다.확인:
- 갑이 간 거리: \(5 \times 2 = 10\)km
- 을이 간 거리: \(4 \times 2 = 8\)km
- 두 사람이 이동한 거리의 합: \(10 + 8 = 18\)km. (전체 거리와 일치)
답: 출발한 지 2시간 후이다.
💡 마무리 정리:
- 시간 차를 두고 출발하여 만나는 문제의 핵심은 만날 때까지 두 사람이 이동한 거리가 같다는 것입니다. (\((\text{먼저 간 사람의 이동 거리}) = (\text{나중에 간 사람의 이동 거리})\))
- 각 사람의 실제 이동 시간을 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 나중에 출발한 사람의 이동 시간을 \(x\)로 두면, 먼저 출발한 사람은 ( \(x\) + 시간 차 ) 만큼 이동한 것입니다.
- 단위 통일(시속과 분속, km와 m, 시간과 분)은 모든 거리, 속력, 시간 문제에서 기본적으로 지켜야 할 사항입니다.
- 마주보고 출발하여 만나는 경우는 (두 사람이 이동한 거리의 합) = (전체 거리)라는 원리를 사용합니다. 이는 시간 차 출발과는 다른 접근 방식이지만, “만난다”는 상황을 다루는 중요한 유형입니다.
중1수학 – 일차방정식 활용 문제 풀이 유형 – 마주 보고 출발, 호수의 둘레를 도는 경우