📘 개념 이해: “같은 방향으로 시간 차를 두고 출발하여 만나는 경우”란?
이 유형의 문제는 두 사람(A, B)이 같은 지점에서 같은 방향으로 이동하되, 출발 시간에 차이를 두고 시작하여 나중에 출발한 사람(보통 속력이 더 빠름)이 먼저 출발한 사람을 따라잡아 만나는 상황을 다룹니다. 예를 들어, 형이 먼저 집을 나선 후 동생이 뒤따라가서 만나는 경우 등이 해당됩니다.
이 문제 해결의 핵심은 두 사람이 만나는 지점까지 각자가 이동한 거리가 서로 같다는 점을 이용하는 것입니다. 또한, 두 사람의 실제 이동 시간을 출발 시간 차이를 고려하여 정확히 설정하는 것이 중요합니다.
💡 방정식 세우기: 만날 때까지 이동한 거리는 같다!
A, B 두 사람이 한 지점에서 같은 방향으로 시간 차를 두고 출발하여 만나는 경우, 다음과 같은 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다.
방정식 세우기의 핵심 원리두 사람이 만났다는 것은 두 사람이 출발점으로부터 이동한 거리가 동일하다는 것을 의미합니다.
$$ (\text{A가 이동한 거리}) = (\text{B가 이동한 거리}) $$
제공해주신 이미지의 핵심 내용이 바로 이 원리입니다. (이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 거리 입니다.)
여기서 각 사람이 이동한 거리는 기본 공식 \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\)을 사용하여 표현합니다. 이때, 두 사람의 실제 이동 시간을 정확히 설정하는 것이 매우 중요합니다.
- 만약 나중에 출발한 B가 이동한 시간을 미지수 \(x\)로 놓는다면:
- B의 이동 시간: \(x\)
- A가 B보다 \(t_0\)만큼 먼저 출발했다면, A의 이동 시간: \(x + t_0\)
- 만약 먼저 출발한 A가 이동한 시간을 미지수 \(y\)로 놓는다면:
- A의 이동 시간: \(y\)
- B가 A보다 \(t_0\)만큼 늦게 출발했다면, B의 이동 시간: \(y – t_0\)
어떤 것을 미지수로 설정하느냐에 따라 다른 사람의 이동 시간 표현이 달라지므로 주의해야 합니다. 일반적으로 나중에 출발한 사람의 이동 시간을 미지수 \(x\)로 놓는 것이 식을 세우기 편리한 경우가 많습니다.
💡 문제 풀이 단계 (같은 방향, 시간차 출발, 만나는 경우)
- 문제 분석 및 정보 정리: 각 사람의 속력, 누가 먼저 출발했는지, 그리고 얼마만큼의 시간 차이를 두고 다른 사람이 출발했는지 등을 정확히 파악합니다.
- 미지수 설정: 일반적으로 나중에 출발한 사람이 만날 때까지 이동한 시간을 미지수 \(x\)로 설정합니다. (또는 문제에서 구하라고 하는 시간을 \(x\)로 설정합니다.)
- 각 사람의 실제 이동 시간 표현: 설정한 미지수 \(x\)와 주어진 시간 차이를 이용하여 각 사람이 실제로 이동한 시간을 식으로 나타냅니다.
- 각 사람의 이동 거리 표현: 각 사람의 (속력) \(\times\) (실제 이동 시간)을 계산하여 이동 거리를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 두 사람이 만났으므로, (A가 이동한 거리) = (B가 이동한 거리)라는 등식을 세웁니다.
- 단위 통일: 속력, 시간, 거리의 단위를 반드시 통일합니다. (예: 분속 m이면 시간은 분, 거리는 m)
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 \(x\) 값이 문제의 조건에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다. 각 사람의 이동 거리가 실제로 같은지 검산해봅니다.
✅ 예제 1: 동생이 형을 따라가는 경우
문제: 형이 분속 50m의 속력으로 집을 나선 지 12분 후에 동생이 분속 80m의 속력으로 자전거를 타고 같은 길을 따라나섰다. 동생은 출발한 지 몇 분 후에 형과 만나게 되는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 동생이 출발한 지 \(x\)분 후에 형과 만난다고 합니다.
- 각자의 실제 이동 시간 표현:
- 동생의 이동 시간: \(x\)분
- 형의 이동 시간: 형은 동생보다 12분 먼저 출발했으므로, 동생이 \(x\)분 이동하는 동안 형은 \((x + 12)\)분 이동합니다.
- 각자의 이동 거리 표현: (거리 = 속력 \(\times\) 시간)
- 동생이 이동한 거리: \(80 \times x = 80x\) m
- 형이 이동한 거리: \(50 \times (x + 12) = 50(x + 12)\) m
- 방정식 세우기: (형이 간 거리) = (동생이 간 거리)
$$ 50(x + 12) = 80x $$
- 방정식 풀기:
$$ 50x + 600 = 80x $$
$$ 600 = 80x – 50x $$
$$ 600 = 30x $$
$$ x = \frac{600}{30} = 20 $$
- 답 구하기 및 확인:동생은 출발한 지 \(x=20\)분 후에 형과 만납니다.확인:
- 동생이 간 거리: \(80 \times 20 = 1600\)m
- 형이 이동한 총 시간: \(20 + 12 = 32\)분
- 형이 간 거리: \(50 \times 32 = 1600\)m
- 두 사람의 이동 거리가 1600m로 같습니다. (일치)
답: 동생이 출발한 지 20분 후이다.
✅ 예제 2: 자동차 추격 문제
문제: A 자동차가 시속 60km로 특정 지점을 통과한 지 30분 후에 B 자동차가 같은 지점에서 시속 80km로 A 자동차를 따라 출발했다. B 자동차는 출발한 지 몇 시간 후에 A 자동차를 따라잡는가?
풀이 과정:
- 단위 통일: 시간 차이 30분 = \(0.5\)시간. (속력이 시속이므로 시간 단위로 통일)
- 미지수 설정: B 자동차가 출발한 지 \(x\)시간 후에 A 자동차를 따라잡는다고 합니다.
- 각 자동차의 실제 이동 시간 표현:
- B 자동차의 이동 시간: \(x\)시간
- A 자동차의 이동 시간: A는 B보다 0.5시간 먼저 출발했으므로, B가 \(x\)시간 이동하는 동안 A는 \((x + 0.5)\)시간 이동합니다.
- 각 자동차의 이동 거리 표현:
- B 자동차가 이동한 거리: \(80 \times x = 80x\) km
- A 자동차가 이동한 거리: \(60 \times (x + 0.5) = 60(x + 0.5)\) km
- 방정식 세우기: (A 자동차가 간 거리) = (B 자동차가 간 거리)
$$ 60(x + 0.5) = 80x $$
- 방정식 풀기:
$$ 60x + 30 = 80x $$
$$ 30 = 80x – 60x $$
$$ 30 = 20x $$
$$ x = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} = 1.5 $$
- 답 구하기 및 확인:B 자동차는 출발한 지 \(x=1.5\)시간 (1시간 30분) 후에 A 자동차를 따라잡습니다.확인:
- B 자동차가 간 거리: \(80 \times 1.5 = 120\)km
- A 자동차가 이동한 총 시간: \(1.5 + 0.5 = 2\)시간
- A 자동차가 간 거리: \(60 \times 2 = 120\)km
- 두 자동차의 이동 거리가 120km로 같습니다. (일치)
답: B 자동차는 출발한 지 1.5시간 (1시간 30분) 후이다.
💡 마무리 정리:
- 같은 방향으로 시간 차를 두고 출발하여 만나는 문제의 핵심 원리는 만날 때까지 두 대상이 이동한 거리가 서로 같다는 것입니다.
- 각 대상의 실제 이동 시간을 정확히 파악하는 것이 매우 중요합니다. 나중에 출발한 대상의 이동 시간을 \(x\)로 두면, 먼저 출발한 대상은 (\(x\) + 시간 차) 만큼 이동한 것으로 계산합니다.
- 단위 통일(시속과 분속, km와 m, 시간과 분 등)은 모든 거리, 속력, 시간 문제에서 실수를 줄이는 기본입니다.
- 방정식 \(\text{거리}_A = \text{거리}_B\)를 세우고, 각 거리를 \(\text{속력} \times \text{시간}\)으로 대체하여 \(x\)에 대한 방정식을 풉니다.
호수 둘레 돌기 – 거속시 – 중2 연립방정식 활용 대표유형 문제