📘 개념 이해: “흐르는 강물 위를 이동하는 경우”란?
“흐르는 강물 위를 이동하는 경우”의 문제는 배나 보트 등이 강물이 흐르는 방향(하류)으로 이동하거나 강물이 흐르는 반대 방향(상류)으로 거슬러 올라갈 때의 속력, 시간, 거리 등을 다룹니다. 이 유형의 핵심은 강물의 속력이 배의 실제 속력에 영향을 준다는 점을 이해하는 것입니다.
- 강을 따라 내려갈 때 (하류로 이동): 배 자체의 속력에 강물의 속력이 더해져 실제 속력이 빨라집니다.
- 강을 거슬러 올라갈 때 (상류로 이동): 배 자체의 속력에서 강물의 속력이 빼져 실제 속력이 느려집니다.
“정지한 물에서의 배의 속력”은 강물이 흐르지 않을 때 배가 낼 수 있는 고유한 속력을 의미합니다.
⚡️ 거리, 속력, 시간의 기본 관계식 (복습):
이 유형 역시 다음 기본 관계식을 바탕으로 합니다.
| 구하는 것 | 공식 |
|---|---|
| 거리 | \(\text{속력} \times \text{시간}\) |
| 속력 | \(\frac{\text{거리}}{\text{시간}}\) |
| 시간 | \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) |
💡 강물에서의 실제 속력 계산
강물 위에서 배가 이동할 때의 실제 속력은 다음과 같이 계산됩니다.
강물에서의 실제 속력(1) 강을 거슬러 올라갈 때의 속력 (상류로 이동):
$$ (\text{실제 속력}) = (\text{정지한 물에서의 배의 속력}) – (\text{강물의 속력}) $$
(2) 강을 따라 내려올 때의 속력 (하류로 이동):
$$ (\text{실제 속력}) = (\text{정지한 물에서의 배의 속력}) + (\text{강물의 속력}) $$
(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 강물 입니다.)
이 문제 유형에서는 보통 “정지한 물에서의 배의 속력”과 “강물의 속력”을 미지수 \(x, y\)로 설정하고, 위 공식을 이용하여 올라갈 때와 내려올 때의 실제 속력을 표현한 후, 거리/시간 정보를 통해 연립방정식을 세우게 됩니다.
주의할 점은 강을 거슬러 올라가려면 배의 고유 속력이 강물의 속력보다 커야 한다는 것입니다. (\((\text{정지한 물에서의 배의 속력}) > (\text{강물의 속력})\))
💡 문제 풀이 단계 (강물 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 정지한 물에서의 배의 속력, 강물의 속력, 이동 거리, 걸린 시간 등의 정보를 파악합니다.
- 강을 거슬러 올라가는 상황인지, 강을 따라 내려가는 상황인지 구분합니다.
- 미지수 설정:
- 일반적으로 정지한 물에서의 배의 속력을 \(x\), 강물의 속력을 \(y\)로 설정합니다. (단위 주의: km/h, m/s 등)
- 실제 이동 속력 표현:
- 올라갈 때의 실제 속력: \(x – y\)
- 내려갈 때의 실제 속력: \(x + y\)
- 방정식 세우기:
- 주어진 거리와 시간을 이용하여 각 상황(올라갈 때, 내려갈 때)에 대해 \(\text{거리} = (\text{실제 속력}) \times \text{시간}\) 또는 \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{(\text{실제 속력})}\) 형태의 방정식을 세웁니다.
- 보통 두 가지 상황이 주어지므로 연립방정식을 구성하게 됩니다.
- 단위 통일: 시간(시, 분), 거리(km, m), 속력(km/h, m/분 등)의 단위를 반드시 통일합니다.
- 연립방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 미지수 \(x, y\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건(예: 속력은 양수, 배의 속력이 강물 속력보다 큼)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다.
✅ 예제 1: 왕복 시간과 거리로 속력 구하기
문제: 정지한 물에서의 속력이 일정한 배를 타고 길이가 60km인 강을 거슬러 올라가는 데 5시간이 걸렸고, 같은 거리를 강을 따라 내려오는 데 3시간이 걸렸다. 정지한 물에서의 배의 속력과 강물의 속력을 각각 구하시오. (단, 강물의 속력은 일정하다.)
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 \(x\) km
- 강물의 속력을 시속 \(y\) km
- (조건: \(x > y\) 이고 \(y > 0\))
- 실제 이동 속력 및 방정식 세우기:1. 거슬러 올라갈 때:
- 실제 속력: \((x – y)\) km/h
- 이동 거리: 60 km
- 걸린 시간: 5 시간
- 방정식: \((\text{속력}) \times (\text{시간}) = (\text{거리}) \implies (x – y) \times 5 = 60\)
$$ 5(x – y) = 60 \implies x – y = 12 \text{ — (식 ①)} $$
2. 강을 따라 내려올 때:
- 실제 속력: \((x + y)\) km/h
- 이동 거리: 60 km
- 걸린 시간: 3 시간
- 방정식: \((\text{속력}) \times (\text{시간}) = (\text{거리}) \implies (x + y) \times 3 = 60\)
$$ 3(x + y) = 60 \implies x + y = 20 \text{ — (식 ②)} $$
- 연립방정식 풀기:(식 ①) \(x – y = 12\)(식 ②) \(x + y = 20\)
두 식을 더하면: \((x – y) + (x + y) = 12 + 20 \implies 2x = 32 \implies x = 16\)
\(x=16\)을 (식 ②)에 대입: \(16 + y = 20 \implies y = 4\)
- 답 구하기 및 확인:정지한 물에서의 배의 속력은 시속 16km, 강물의 속력은 시속 4km입니다.확인: \(x=16 > y=4\)이고 \(y=4>0\) 조건 만족.
- 올라갈 때 속력: \(16 – 4 = 12\) km/h. 시간: \(60 \div 12 = 5\)시간. (일치)
- 내려올 때 속력: \(16 + 4 = 20\) km/h. 시간: \(60 \div 20 = 3\)시간. (일치)
답: 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 16 km, 강물의 속력은 시속 4 km이다.
✅ 예제 2: 다른 거리, 같은 시간
문제: 정지한 물에서 시속 10km로 가는 보트가 있다. 이 보트로 강을 따라 24km 내려가는 데 걸린 시간과 이 강을 거슬러 16km 올라가는 데 걸린 시간이 같았다. 강물의 속력은 시속 몇 km인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 강물의 속력을 시속 \(y\) km라고 합니다. (정지한 물에서의 보트 속력은 시속 10km로 주어짐)(조건: \(10 > y\) 이고 \(y > 0\))
- 각 상황별 실제 속력 및 시간 표현:
- 강을 따라 내려갈 때:
- 실제 속력: \((10 + y)\) km/h
- 이동 거리: 24 km
- 걸린 시간 (\(t_1\)): \(\frac{24}{10 + y}\) 시간
- 강을 거슬러 올라갈 때:
- 실제 속력: \((10 – y)\) km/h
- 이동 거리: 16 km
- 걸린 시간 (\(t_2\)): \(\frac{16}{10 – y}\) 시간
- 강을 따라 내려갈 때:
- 방정식 세우기: (내려가는 데 걸린 시간) = (올라가는 데 걸린 시간)
$$ \frac{24}{10 + y} = \frac{16}{10 – y} $$
- 방정식 풀기: (분수 비례식이므로 대각선으로 곱한다)
$$ 24(10 – y) = 16(10 + y) $$
(양변을 8로 나누면 계산이 간단해집니다: \(3(10-y) = 2(10+y)\))
$$ 30 – 3y = 20 + 2y $$
$$ 30 – 20 = 2y + 3y $$
$$ 10 = 5y $$
$$ y = 2 $$
- 답 구하기 및 확인:강물의 속력 \(y\)는 시속 2km입니다.확인: \(y=2\)는 \(10 > 2\)이고 \(2>0\) 조건 만족.
- 내려갈 때 시간: \(\frac{24}{10+2} = \frac{24}{12} = 2\)시간
- 올라갈 때 시간: \(\frac{16}{10-2} = \frac{16}{8} = 2\)시간
- 두 시간이 2시간으로 같습니다. (일치)
답: 강물의 속력은 시속 2 km이다.
💡 마무리 정리:
- 강물 문제의 핵심은 강물의 흐름이 배의 실제 속력에 영향을 준다는 점입니다. 내려갈 때는 더해지고, 올라갈 때는 빼집니다.
- 정지한 물에서의 배의 속력과 강물의 속력을 각각 미지수로 설정하는 것이 일반적입니다.
- 올라갈 때와 내려갈 때의 실제 속력을 정확히 표현한 후, \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\) 관계를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 문제가 두 가지 상황(올라갈 때, 내려갈 때)을 제시하면 보통 연립방정식으로 해결합니다.
- 단위 통일을 철저히 하고, 구한 답이 물리적으로 가능한 값인지 (예: 배의 속력이 강물 속력보다 큰지) 확인하는 것이 중요합니다.