원가 정가에 대한 문제 – 중1수학 – 일차방정식 활용 대표유형 개념 및 문제

📘 개념 이해: “원가, 정가, 판매 가격, 이익”이란?

“원가, 정가에 대한 문제”는 상품의 가격 결정 과정과 그로 인해 발생하는 이익 또는 손해를 다루는 문제입니다.

이 유형의 문제를 풀기 위해서는 관련된 용어의 의미를 정확히 이해하는 것이 매우 중요합니다.

원가 (Cost Price):

상품을 생산하거나 사들일 때 드는 원래 가격. ‘매입가’라고도 합니다.

정가 (List Price / Regular Price):

원가에 이익을 붙여서 판매하려고 정한 가격. ‘희망 소비자 가격’과 유사한 개념입니다.

판매 가격 (Selling Price):

실제로 상품이 판매되는 가격. 정가에서 할인하여 판매할 수도 있고, 정가 그대로 판매할 수도 있습니다.

이익 (Profit):

판매 가격에서 원가를 뺀 금액. (이익) = (판매 가격) – (원가). 만약 이 값이 음수이면 손해(손실)를 의미합니다.

할인율 (Discount Rate):

정가에서 얼마나 깎아주는지를 나타내는 비율 (보통 %로 표시).

이익률 (Profit Margin / Markup Rate):

원가에 대해 얼마나 이익을 붙이는지를 나타내는 비율 (보통 %로 표시).

이 유형의 문제는 주로 원가를 미지수 \(x\)로 설정하고, 주어진 이익률이나 할인율을 이용하여 정가와 판매 가격을 \(x\)에 대한 식으로 표현한 후, 최종 이익에 대한 정보를 바탕으로 방정식을 세웁니다.

💡 주요 가격 계산 공식 (이미지 내용 포함)

원가, 정가, 판매 가격, 이익 사이의 관계를 식으로 표현하는 방법은 다음과 같습니다.

💡 문제 풀이 단계 (원가, 정가 문제)

1. 문제 분석 및 용어 파악:
   • 문제에 등장하는 원가, 정가, 판매 가격, 이익, 이익률, 할인율 등의 용어를 정확히 이해합니다.
   • 무엇을 기준으로 이익률이나 할인율이 적용되는지 파악합니다 (보통 이익률은 원가 기준, 할인율은 정가 기준).
2. 미지수 설정:
   • 일반적으로 문제에서 구하라고 하는 원가를 미지수 \(x\)원으로 설정합니다. (때로는 정가나 다른 값을 미지수로 놓을 수도 있습니다.)
3. 정가, 판매 가격, 이익을 \(x\)에 대한 식으로 표현:
   • 원가 \(x\)에 이익을 붙여 정가를 설정: \(x\left(1 + \frac{\text{이익률}}{100}\right)\)
   • 정가에서 할인을 하여 판매 가격 설정: \((\text{정가})\left(1 – \frac{\text{할인율}}{100}\right)\) 또는 \((\text{정가}) – (\text{할인 금액})\)
   • 최종 이익: \((\text{판매 가격}) – x\)
4. 방정식 세우기:
   • 문제에서 주어진 최종 이익에 대한 정보 (예: “이익이 500원이다”, “원가의 10% 이익이 생겼다”)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
   • 즉, \((\text{판매 가격}) – x = (\text{주어진 이익})\) 또는 \((\text{판매 가격}) – x = x \times \frac{\text{원가 대비 이익률}}{100}\) 형태로 세워집니다.
5. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)(원가)의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 \(x\) 값이 가격으로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
   • \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
   • 구한 원가를 이용하여 정가, 판매 가격, 이익을 실제로 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 정가에서 할인하여 판매하는 경우

문제: 어떤 상품의 원가에 30%의 이익을 붙여 정가를 정했다. 이 정가에서 1,000원을 할인하여 판매하였더니 원가에 대하여 10%의 이익을 얻었다. 이 상품의 원가는 얼마인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 상품의 원가를 \(x\)원이라고 합니다.
• 정가 표현: 원가 \(x\)원에 30%의 이익을 붙인 정가

  $$ \text{정가} = x + 0.3x = 1.3x \text{ 원} $$

• 판매 가격 표현: 정가에서 1,000원 할인한 가격

  $$ \text{판매 가격} = 1.3x – 1000 \text{ 원} $$

• 이익 표현: 원가에 대하여 10%의 이익

  $$ \text{이익} = x \times \frac{10}{100} = 0.1x \text{ 원} $$

• 방정식 세우기: (판매 가격) – (원가) = (이익)

  $$ (1.3x – 1000) – x = 0.1x $$

• 방정식 풀기:

  $$ 0.3x – 1000 = 0.1x $$

  $$ 0.3x – 0.1x = 1000 $$

  $$ 0.2x = 1000 $$

  $$ x = \frac{1000}{0.2} = \frac{10000}{2} = 5000 $$

• 답 구하기 및 확인:상품의 원가 \(x\)는 5,000원입니다.확인:
  • 정가: \(1.3 \times 5000 = 6500\)원
  • 판매 가격: \(6500 – 1000 = 5500\)원
  • 실제 이익: \(5500 – 5000 = 500\)원
  • 원가 대비 10% 이익: \(5000 \times 0.1 = 500\)원. (실제 이익과 일치)

답: 상품의 원가는 5,000원이다.

✅ 예제 2: 할인율을 구하는 경우

문제: 원가가 8,000원인 상품에 25%의 이익을 붙여 정가를 정한 후, 팔리지 않아 정가에서 \(a\%\)를 할인하여 판매하였더니 1,200원의 이익을 얻었다. 할인율 \(a\)의 값은 얼마인가? (단, \(a\)는 0보다 크다)

풀이 과정:

• 원가: 8,000원
• 정가 계산: 원가에 25% 이익을 붙임

  $$ \text{정가} = 8000 \times \left(1 + \frac{25}{100}\right) = 8000 \times 1.25 = 10000 \text{ 원} $$

• 판매 가격 표현: 정가 10,000원에서 \(a\%\) 할인

  $$ \text{판매 가격} = 10000 \times \left(1 – \frac{a}{100}\right) \text{ 원} $$

• 주어진 이익: 1,200원
• 방정식 세우기: (판매 가격) – (원가) = (이익)

  $$ 10000 \left(1 – \frac{a}{100}\right) – 8000 = 1200 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 10000 – 100a – 8000 = 1200 $$

  $$ 2000 – 100a = 1200 $$

  $$ 2000 – 1200 = 100a $$

  $$ 800 = 100a $$

  $$ a = \frac{800}{100} = 8 $$

• 답 구하기 및 확인:할인율 \(a\)는 8%입니다.확인:
  • 정가: 10,000원
  • 8% 할인한 판매 가격: \(10000 \times (1 – 0.08) = 10000 \times 0.92 = 9200\)원
  • 이익: \(9200 – 8000 = 1200\)원. (주어진 이익과 일치)

답: 할인율은 8%이다.