속력이 바뀌는 유형- 거리, 속력, 시간 문제 (1) – 중1 수학 일차방정식 활용 유형

📘 개념 이해: “거리, 속력, 시간” 문제란?

“거리, 속력, 시간에 대한 문제”는 물체의 이동과 관련된 세 가지 핵심 요소인 거리, 속력, 시간 사이의 관계를 이용하여 방정식을 세우고 미지수를 찾는 문제입니다. 특히, 이동하는 도중에 속력이 변하는 상황은 문제 해결에 있어 중요한 포인트가 됩니다.

예를 들어, 집에서 학교까지 가는데 처음에는 걷다가途中에 뛰어가거나, 산을 오를 때와 내려올 때의 속력이 다른 경우 등이 이 유형에 해당합니다. 이러한 문제는 전체 이동 과정을 속력이 일정한 여러 구간으로 나누어 각 구간별 정보를 분석하는 것이 핵심입니다.

💡 속력이 바뀌는 경우의 접근법

이동 도중 속력이 한 번 이상 변하는 경우, 전체 이동 과정을 속력이 일정한 여러 구간으로 나누어 생각해야 합니다. 각 구간마다 적용되는 속력이 다르므로, 각 구간에서 걸린 시간이나 이동한 거리를 개별적으로 계산한 후, 이를 합하거나 비교하여 방정식을 세웁니다.

💡 문제 풀이 단계 (속력이 바뀌는 경우)

1. 문제 분석 및 정보 정리:
   • 전체 이동 경로를 속력이 변하는 지점을 기준으로 여러 구간으로 나눕니다.
   • 각 구간의 거리, 속력, 시간에 대한 정보를 표나 그림으로 정리하면 문제 이해에 큰 도움이 됩니다.
   • 총 걸린 시간, 총 이동 거리 등 주어진 핵심 정보가 무엇인지 파악합니다.
2. 미지수 설정:
   • 문제에서 구하고자 하는 값 (일반적으로 특정 구간의 거리 또는 전체 거리의 일부)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
   • 만약 전체 거리가 주어지고 한 구간의 거리를 \(x\)로 설정했다면, 다른 구간의 거리는 (전체 거리 – \(x\)) 등으로 표현할 수 있습니다.
3. 각 구간에서 걸린 시간 표현:
   • 각 구간에 대해 \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) 공식을 사용하여, \(x\)에 대한 식으로 각 구간에서 걸린 시간을 나타냅니다.
   • 단위 통일이 매우 중요합니다! 예를 들어, 속력이 시속(km/h)이면 시간도 시간(h) 단위로, 거리가 km이면 속력의 거리 단위도 km로 일치시켜야 합니다. 분(minute) 단위가 나올 경우 시간 단위로 환산(예: 30분 = 0.5시간)하는 것을 잊지 마세요.
4. 방정식 세우기:
   • 대부분의 경우 (각 구간에서 걸린 시간의 합) = (총 걸린 시간) 관계를 이용하여 방정식을 세웁니다.
   • 문제의 조건에 따라 (총 이동 거리) 또는 다른 관계로 방정식을 세울 수도 있습니다.
5. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다. 분수 형태의 항이 포함된 일차방정식이 자주 등장하므로, 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 정수 계수로 만들어 푸는 연습이 필요합니다.
6. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 \(x\) 값이 거리, 시간 등으로서 타당한지 (예: 양수인지, 주어진 전체 거리보다 크지 않은지 등) 확인합니다.
   • \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
   • 구한 값들을 이용하여 각 구간의 시간, 거리 등을 실제로 계산해보고 문제의 조건과 정확히 일치하는지 검산하는 것이 좋습니다.

✅ 예제 1: 등산 문제 (올라갈 때와 내려올 때 속력이 다른 경우)

문제: A지점에서 B지점까지 등산을 하는데, 올라갈 때는 시속 2km로 걷고, 내려올 때는 같은 길을 시속 3km로 걸어서 총 5시간이 걸렸다. A지점에서 B지점까지의 거리는 몇 km인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: A지점에서 B지점까지의 거리를 \(x\) km라고 합니다.
• 각 구간의 정보 정리:
  • 올라갈 때: 거리 \(x\) km, 속력 시속 2km
  • 내려올 때: 거리 \(x\) km (같은 길이므로), 속력 시속 3km
• 각 구간의 시간 표현:
  • 올라갈 때 걸린 시간: \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{2}\) 시간
  • 내려올 때 걸린 시간: \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{3}\) 시간
• 방정식 세우기: (올라갈 때 걸린 시간) + (내려올 때 걸린 시간) = (총 걸린 시간)

  $$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 $$

• 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱한다)

  $$ 6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 $$

  $$ 3x + 2x = 30 $$

  $$ 5x = 30 $$

  $$ x = \frac{30}{5} = 6 $$

• 답 구하기 및 확인:A지점에서 B지점까지의 거리 \(x\)는 6km입니다.확인: 올라갈 때 걸린 시간 \(\frac{6}{2} = 3\)시간, 내려올 때 걸린 시간 \(\frac{6}{3} = 2\)시간. 총 걸린 시간 \(3+2=5\)시간. (문제 조건과 일치)

답: A지점에서 B지점까지의 거리는 6 km이다.

✅ 예제 2: 도중에 속력이 바뀌는 경우

문제: 집에서 10km 떨어진 공원까지 가는데, 처음에는 시속 6km로 걷다가 도중에 시속 4km로 걸어서 총 2시간이 걸렸다. 시속 6km로 걸은 거리는 몇 km인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 시속 6km로 걸은 거리를 \(x\) km라고 합니다.
• 각 구간의 정보 정리:
  • 구간 1 (시속 6km): 거리 \(x\) km, 속력 시속 6km
  • 구간 2 (시속 4km): 총 거리가 10km이므로, 이 구간의 거리는 \((10-x)\) km, 속력 시속 4km
• 각 구간의 시간 표현:
  • 구간 1에서 걸린 시간: \(\frac{x}{6}\) 시간
  • 구간 2에서 걸린 시간: \(\frac{10-x}{4}\) 시간
• 방정식 세우기: (구간 1 시간) + (구간 2 시간) = (총 시간)

  $$ \frac{x}{6} + \frac{10-x}{4} = 2 $$

• 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱한다)

  $$ 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot \frac{10-x}{4} = 12 \cdot 2 $$

  $$ 2x + 3(10-x) = 24 $$

  $$ 2x + 30 – 3x = 24 $$

  $$ -x = 24 – 30 $$

  $$ -x = -6 $$

  $$ x = 6 $$

• 답 구하기 및 확인:시속 6km로 걸은 거리 \(x\)는 6km입니다.시속 4km로 걸은 거리는 \(10-6=4\)km입니다.확인: 구간 1 시간 \(\frac{6}{6} = 1\)시간, 구간 2 시간 \(\frac{4}{4} = 1\)시간. 총 걸린 시간 \(1+1=2\)시간. (문제 조건과 일치)

답: 시속 6km로 걸은 거리는 6 km이다.