소금물 농도 문제 – 일차방정식 활용 유형 – 중1수학 문제풀이

📘 개념 이해: “소금물 농도 문제”란?

“소금물 농도 문제”는 소금물의 농도, 소금의 양, 소금물의 양 사이의 관계를 이용하여 방정식을 세우고 미지수를 찾는 문제입니다. 물을 더 넣거나 증발시키는 경우, 소금을 더 넣는 경우, 또는 농도가 다른 두 소금물을 섞는 경우 등 다양한 상황이 출제됩니다.

이 유형의 문제를 푸는 가장 중요한 핵심은 용액에 어떤 변화를 주더라도 용질(여기서는 소금)의 양은 변하지 않거나, 그 변화를 정확히 추적할 수 있다는 점입니다. (단, 소금을 직접 더 넣거나 빼는 경우는 제외하고, 물만 변화시킬 때)

이미지에 제시된 것처럼 “소금물 문제는 소금의 양이 일정함으로 푼다”는 원칙이 매우 중요합니다. 즉, 물을 증발시키거나 물을 더 넣어도 소금의 양 자체는 변하지 않는다는 사실을 이용하여 방정식을 세웁니다. (만약 소금을 더 넣으면 소금의 양도 변합니다.)

💡 문제 해결 전략: 소금의 양에 주목하라!

농도 문제는 상황이 복잡해 보일 수 있지만, 다음 전략을 따르면 체계적으로 접근할 수 있습니다.

1. 상황 파악: 물을 증발시키는지, 물을 더 넣는지, 소금을 더 넣는지, 두 소금물을 섞는지 등 어떤 조작이 이루어지는지 정확히 파악합니다.
2. 정보 정리 (표 또는 그림 활용): 각 상황(변화 전, 변화 후 또는 섞기 전후)에서의 농도, 소금의 양, 소금물의 양을 표로 정리하거나 비커 그림을 그려보면 도움이 됩니다.
   

   상황	농도 (%)	소금물의 양 (g)	소금의 양 (g)
   변화 전
   변화 후

3. 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 값(예: 증발시킨 물의 양, 더 넣은 소금의 양, 처음 소금물의 농도 등)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
4. 소금의 양 계산: 각 상황에서 소금의 양을 농도와 소금물의 양을 이용하여 식으로 표현합니다. (\(\text{소금} = \frac{\text{농도}}{100} \times \text{소금물}\))
5. 방정식 세우기 (소금의 양 기준):
   • 물을 증발/추가하는 경우: (처음 소금의 양) = (나중 소금의 양)
   • 소금을 추가하는 경우: (처음 소금의 양) + (추가한 소금의 양) = (나중 소금의 양)
   • 두 소금물을 섞는 경우: (A 소금물 속 소금의 양) + (B 소금물 속 소금의 양) = (섞은 후 소금물 속 소금의 양)
6. 방정식 풀기 및 답 구하기: 방정식을 풀어 \(x\)값을 구하고, 문제에서 요구하는 답을 작성합니다. 단위를 확인하고, 구한 값이 현실적인지 검토합니다.

✅ 예제 1: 물을 증발시키는 경우

문제: 8%의 소금물 400g이 있다. 이 소금물에서 물을 몇 g 증발시키면 10%의 소금물이 되겠는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 증발시킨 물의 양을 \(x\) g이라고 합니다.
• 정보 정리 및 소금의 양 계산:
  

  상황	농도 (%)	소금물의 양 (g)	소금의 양 (g)
  처음	8	400	\(\frac{8}{100} \times 400 = 32\)
  나중 (물 \(x\)g 증발)	10	\(400 – x\)	\(\frac{10}{100} \times (400 – x)\) (이 값도 32g과 같아야 함)

• 방정식 세우기 (소금의 양은 변하지 않음):

  $$ (\text{처음 소금의 양}) = (\text{나중 소금의 양}) $$

  $$ 32 = \frac{10}{100} \times (400 – x) $$

• 방정식 풀기:

  $$ 32 = \frac{1}{10}(400 – x) $$

  양변에 10을 곱하면:

  $$ 320 = 400 – x $$

  $$ x = 400 – 320 $$

  $$ x = 80 $$

• 답 구하기 및 확인:증발시킨 물의 양 \(x\)는 80g입니다.확인: 나중 소금물의 양은 \(400 – 80 = 320\)g. 이때의 농도는 \(\frac{32}{320} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10\%\). (문제 조건과 일치)

답: 80 g의 물을 증발시키면 된다.

✅ 예제 2: 소금을 더 넣는 경우

문제: 5%의 소금물 200g에 소금을 몇 g 더 넣으면 20%의 소금물이 되겠는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 더 넣은 소금의 양을 \(x\) g이라고 합니다.
• 정보 정리 및 소금/소금물의 양 변화:
  

  상황	농도 (%)	소금물의 양 (g)	소금의 양 (g)
  처음	5	200	\(\frac{5}{100} \times 200 = 10\)
  나중 (소금 \(x\)g 추가)	20	\(200 + x\)	\(10 + x\)

• 방정식 세우기 (나중 농도 공식 이용):

  $$ (\text{나중 농도}) = \frac{(\text{나중 소금의 양})}{(\text{나중 소금물의 양})} \times 100 $$

  $$ 20 = \frac{10 + x}{200 + x} \times 100 $$

• 방정식 풀기:양변을 100으로 나누면:

  $$ \frac{20}{100} = \frac{10 + x}{200 + x} $$

  $$ \frac{1}{5} = \frac{10 + x}{200 + x} $$

  대각선으로 곱하면 (분수 비례식 풀이):

  $$ 1 \times (200 + x) = 5 \times (10 + x) $$

  $$ 200 + x = 50 + 5x $$

  $$ 200 – 50 = 5x – x $$

  $$ 150 = 4x $$

  $$ x = \frac{150}{4} = \frac{75}{2} = 37.5 $$

• 답 구하기 및 확인:더 넣은 소금의 양 \(x\)는 37.5g입니다.확인: 나중 소금물의 양 \(200 + 37.5 = 237.5\)g, 나중 소금의 양 \(10 + 37.5 = 47.5\)g.나중 농도 \(\frac{47.5}{237.5} \times 100 = \frac{475}{2375} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20\%\). (문제 조건과 일치)

답: 37.5 g의 소금을 더 넣으면 된다.

✅ 예제 3: 두 소금물 섞기

문제: 6%의 소금물 300g과 10%의 소금물을 섞어서 9%의 소금물을 만들려고 한다. 10%의 소금물은 몇 g을 섞어야 하는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 섞어야 할 10% 소금물의 양을 \(x\) g이라고 합니다.
• 정보 정리 및 각 소금물 속 소금의 양 계산:
  

  구분	농도 (%)	소금물의 양 (g)	소금의 양 (g)
  소금물 A	6	300	\(\frac{6}{100} \times 300 = 18\)
  소금물 B	10	\(x\)	\(\frac{10}{100} \times x = 0.1x\)
  섞은 후	9	\(300 + x\)	\(18 + 0.1x\) (또는 \(\frac{9}{100}(300+x)\))

• 방정식 세우기 (섞기 전 소금의 양의 합 = 섞은 후 소금의 양):

  $$ 18 + 0.1x = \frac{9}{100}(300 + x) $$

• 방정식 풀기:양변에 100을 곱하면:

  $$ 1800 + 10x = 9(300 + x) $$

  $$ 1800 + 10x = 2700 + 9x $$

  $$ 10x – 9x = 2700 – 1800 $$

  $$ x = 900 $$

• 답 구하기 및 확인:10% 소금물 \(x\)는 900g을 섞어야 합니다.확인: 섞은 후 소금물의 양 \(300 + 900 = 1200\)g.섞은 후 소금의 양 \(18 + (0.1 \times 900) = 18 + 90 = 108\)g.섞은 후 농도 \(\frac{108}{1200} \times 100 = \frac{108}{12} = 9\%\). (문제 조건과 일치)

답: 10%의 소금물 900 g을 섞어야 한다.