등차수열의 합 공식첫째항이 \(a\), 제\(n\)항(마지막 항)이 \(l\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때,
(1) 첫째항과 제\(n\)항(마지막 항)을 알 때:
$$ S_n = \frac{n(a+l)}{2} $$
(2) 첫째항과 공차를 알 때:
$$ S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} $$
공식 (1)은 첫째항과 마지막 항의 값을 알 때 사용하기 편리하며, 공식 (2)는 첫째항과 공차를 알 때 직접 합을 계산할 수 있게 해줍니다.
첫째항과 끝항을 이용해서 구하는 방법은 같습니다. 공식 유도도 같은 방법으로 해줍니다.
💡 문제 풀이 단계
- 주어진 조건 파악:문제에서 주어진 정보(첫째항 \(a\), 공차 \(d\), 항의 수 \(n\), 특정 항의 값 \(a_k\), 마지막 항 \(l\) 등)를 명확히 합니다.
- 적절한 합 공식 선택:주어진 정보를 바탕으로 두 가지 합 공식 중 어느 것을 사용하는 것이 더 효율적인지 판단합니다.
- (필요시) 누락된 정보 구하기:합 공식을 사용하기 위해 필요한 정보(예: 첫째항, 공차, 항의 수 등)가 부족하다면, 등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a + (n-1)d\) 등을 이용하여 먼저 구합니다.
- 공식에 값 대입 및 계산:선택한 합 공식에 파악된 값들을 정확히 대입하여 합을 계산합니다.
✅ 예제 1: 첫째항과 공차가 주어질 때
문제: 첫째항이 2이고 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합 \(S_{10}\)을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 조건 파악: 첫째항 \(a=2\), 공차 \(d=4\), 항의 수 \(n=10\)
2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 공차를 알므로 \(S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\) 공식을 사용합니다.
3. (누락된 정보 없음)
4. 공식에 값 대입 및 계산:
$$ S_{10} = \frac{10\{2(2)+(10-1)4\}}{2} $$
$$ S_{10} = \frac{10\{4+9 \cdot 4\}}{2} = \frac{10\{4+36\}}{2} $$
$$ S_{10} = \frac{10 \cdot 40}{2} = \frac{400}{2} = 200 $$
답: \(S_{10} = 200\)
✅ 예제 2: 첫째항과 마지막 항이 주어질 때
문제: 첫째항이 10이고 제8항이 31인 등차수열의 첫째항부터 제8항까지의 합 \(S_8\)을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 조건 파악: 첫째항 \(a=10\), 항의 수 \(n=8\), 마지막 항 \(l = a_8 = 31\)
2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 마지막 항을 알므로 \(S_n = \frac{n(a+l)}{2}\) 공식을 사용합니다.
3. (누락된 정보 없음)
4. 공식에 값 대입 및 계산:
$$ S_8 = \frac{8(10+31)}{2} $$
$$ S_8 = \frac{8 \cdot 41}{2} = 4 \cdot 41 = 164 $$
답: \(S_8 = 164\)
✅ 예제 3: 두 개의 특정 항의 값이 주어질 때
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_3 = 8\), \(a_8 = 23\)일 때, 첫째항부터 제12항까지의 합 \(S_{12}\)를 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 조건 파악: \(a_3 = 8\), \(a_8 = 23\). 구하려는 것은 \(S_{12}\)이므로 항의 수 \(n=12\).
2. 적절한 합 공식 선택: 첫째항과 공차를 구해 \(S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\) 공식을 사용할 것입니다.
3. 누락된 정보 구하기 (첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)):
일반항 공식 \(a_n = a+(n-1)d\)를 이용합니다.
$$ a_3 = a + (3-1)d = a + 2d = 8 \quad \cdots \text{①} $$
$$ a_8 = a + (8-1)d = a + 7d = 23 \quad \cdots \text{②} $$
식 ②에서 식 ①을 빼면:
$$ (a+7d) – (a+2d) = 23 – 8 $$
$$ 5d = 15 \implies d = 3 $$
\(d=3\)을 식 ①에 대입하면:
$$ a + 2(3) = 8 \implies a + 6 = 8 \implies a = 2 $$
따라서 첫째항 \(a=2\), 공차 \(d=3\)입니다.
4. 공식에 값 대입 및 계산:
항의 수 \(n=12\), \(a=2\), \(d=3\)을 합 공식에 대입합니다.
$$ S_{12} = \frac{12\{2(2)+(12-1)3\}}{2} $$
$$ S_{12} = \frac{12\{4+11 \cdot 3\}}{2} = \frac{12\{4+33\}}{2} $$
$$ S_{12} = \frac{12 \cdot 37}{2} = 6 \cdot 37 = 222 $$
답: \(S_{12} = 222\)
💡 마무리 정리:
- 등차수열의 합을 구할 때는 주어진 정보에 따라 가장 적절한 공식을 선택하는 것이 중요합니다.
- 첫째항(\(a\))과 마지막 항(\(l\))을 알면: \(S_n = \frac{n(a+l)}{2}\)
- 첫째항(\(a\))과 공차(\(d\))를 알면: \(S_n = \frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}\)
- 합 공식에 필요한 정보가 직접 주어지지 않은 경우, 등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a+(n-1)d\)를 이용하여 필요한 값을 먼저 구해야 합니다.
- 항의 수(\(n\))를 정확히 파악하는 것도 중요합니다.
- 계산 과정에서 수의 합과 곱을 정확히 처리하도록 주의합니다.
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