가격 개수 유형 – 연립방정식 활용 – 중2수학 대표 유형 개념 및 문제 풀이

📘 개념 이해: “가격, 개수 문제”란?

“가격, 개수에 대한 문제”는 여러 종류의 물건을 각각 몇 개씩 구입했을 때의 총 가격, 또는 각 물건의 단가(한 개당 가격) 사이의 관계를 다루는 유형입니다.

문제에서는 보통 두 종류 이상의 물건이 등장하며, 각 물건의 가격 차이나 구입 개수에 따른 총 지불 금액 등의 정보가 주어집니다.

핵심은 각 물건 한 개의 가격을 미지수로 설정하고, 문제에 주어진 조건들을 이용하여 연립방정식을 세우거나, 한 미지수로 다른 미지수를 표현하여 하나의 방정식을 세워 해결하는 것입니다.

💡 방정식 세우기 전략

가격과 개수에 대한 문제는 주로 다음과 같은 정보가 주어지며, 이를 바탕으로 방정식을 구성합니다.

💡 문제 풀이 단계 (가격, 개수 문제)

1. 문제 분석 및 정보 정리:
   • 등장하는 물건의 종류와 각 물건의 개수를 파악합니다.
   • 물건들 사이의 가격 관계 (누가 얼마 더 비싸거나 싼지, 몇 배인지 등)를 확인합니다.
   • 총 지불 금액 또는 다른 합계에 대한 정보를 확인합니다.
2. 미지수 설정:
   • 각 물건 한 개의 가격을 미지수 (예: \(x\)원, \(y\)원)로 설정합니다.
   • 문제에서 구하라고 하는 값을 미지수로 놓는 것이 일반적입니다.
3. 방정식 세우기:
   • 주어진 가격 관계를 이용하여 첫 번째 방정식을 세웁니다.
   • 총 지불 금액과 각 물건의 개수를 이용하여 두 번째 방정식을 세웁니다.(\(\text{단가}_1 \times \text{개수}_1 + \text{단가}_2 \times \text{개수}_2 = \text{총액}\))
4. 방정식 풀기: 세운 연립방정식(또는 일차방정식)을 풀어 각 미지수(가격)의 값을 구합니다.
5. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 가격이 문제의 조건(예: 양수)에 맞는지 확인합니다.
   • 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 작성합니다. (예: 특정 물건의 가격, 두 물건 가격의 합 등)
   • 구한 가격들을 이용하여 총 지불 금액을 계산해보고 문제에서 주어진 총액과 일치하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 두 종류의 과자 가격

문제: 과자 A 한 봉지의 가격은 과자 B 한 봉지의 가격보다 300원이 싸다. 과자 A 4봉지와 과자 B 2봉지를 사면 총 4,200원을 지불해야 한다. 과자 B 한 봉지의 가격은 얼마인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 과자 B 한 봉지의 가격을 \(x\)원이라고 합니다. (문제에서 B의 가격을 물었으므로)
  • 과자 A 한 봉지의 가격은 B보다 300원 싸므로 \((x – 300)\)원입니다.
• 총 지불 금액에 대한 방정식 세우기:(A 가격 \(\times\) A 개수) + (B 가격 \(\times\) B 개수) = 총액

  $$ (x – 300) \times 4 + x \times 2 = 4200 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 4x – 1200 + 2x = 4200 $$

  $$ 6x – 1200 = 4200 $$

  $$ 6x = 4200 + 1200 $$

  $$ 6x = 5400 $$

  $$ x = \frac{5400}{6} = 900 $$

• 답 구하기 및 확인:과자 B 한 봉지의 가격 \(x\)는 900원입니다.확인:
  • 과자 A 한 봉지의 가격: \(900 – 300 = 600\)원
  • 총 지불 금액: (과자 A 4봉지 가격) + (과자 B 2봉지 가격)\(= (600 \times 4) + (900 \times 2) = 2400 + 1800 = 4200\)원. (문제 조건과 일치)

답: 과자 B 한 봉지의 가격은 900원이다.

✅ 예제 2: 연필과 볼펜의 가격 (연립방정식 활용)

문제: 연필 5자루와 볼펜 3자루를 사면 4,500원이고, 연필 3자루와 볼펜 5자루를 사면 5,100원이다. 볼펜 한 자루의 가격은 연필 한 자루의 가격보다 얼마나 더 비싼가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 연필 한 자루의 가격을 \(x\)원이라고 합니다.
  • 볼펜 한 자루의 가격을 \(y\)원이라고 합니다.
• 방정식 세우기 (연립방정식):
  • 조건 1: 연필 5자루와 볼펜 3자루 가격 합

    $$ 5x + 3y = 4500 \text{ — (식 ①)} $$

  • 조건 2: 연필 3자루와 볼펜 5자루 가격 합

    $$ 3x + 5y = 5100 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①) \(\times 5\): \(25x + 15y = 22500\)(식 ②) \(\times 3\): \(\;9x + 15y = 15300\)위 두 식을 빼면: \((25x – 9x) + (15y – 15y) = 22500 – 15300\)

  $$ 16x = 7200 $$

  $$ x = \frac{7200}{16} = 450 $$

  \(x=450\)을 (식 ①)에 대입:

  $$ 5(450) + 3y = 4500 $$

  $$ 2250 + 3y = 4500 $$

  $$ 3y = 4500 – 2250 $$

  $$ 3y = 2250 $$

  $$ y = \frac{2250}{3} = 750 $$

• 답 구하기 및 확인:연필 한 자루 가격 \(x=450\)원, 볼펜 한 자루 가격 \(y=750\)원입니다.문제에서는 “볼펜 한 자루의 가격은 연필 한 자루의 가격보다 얼마나 더 비싼가?”를 물었으므로,가격 차이 = \(y – x = 750 – 450 = 300\)원.확인:
  • 연필 5자루(\(5 \times 450 = 2250\)) + 볼펜 3자루(\(3 \times 750 = 2250\)) = 4500원 (일치)
  • 연필 3자루(\(3 \times 450 = 1350\)) + 볼펜 5자루(\(5 \times 750 = 3750\)) = 5100원 (일치)

답: 볼펜 한 자루는 연필 한 자루보다 300원 더 비싸다.